3.河边洗碗

《孙子算经》中还有一道“河边洗碗”的趣题，译成现代汉语其大意是：

一位妇女在河边洗刷一大堆碗。一个过路人问她：“怎么洗这么多碗？家里来客人了吧！”妇女回答说：“是的。”过路人又问：“家里来了多少客人？”妇女笑答道：“二人合吃一碗饭，三人合吃一碗羹，四人合吃一碗肉，一共用了65只碗，你算算我们家来了多少客人？”

解一 注意到2，3，4的最小公倍数是12.如图1，画4个并列的三

爻卦，共有12个爻，每爻代表1人。

           图1

 “横看成岭侧成峰”，横看每行4人，“四人一碗肉”，3行共用3只碗。竖看每列3人，“三人一碗羹”，4列共用4只碗。“二人一碗饭”，12人用6只碗。由此可知，客人们12人一组，共用碗3+4+6=13只碗。因共用65个碗，65÷13=5，客人恰有5组，故共有客人12×5=60（人）。

解二  本题也可转化为鸡兔同笼问题，利用公式计算。

设想图1表示每一个碗都均分为12部分，每一部分用一个爻表示，于是每人用6个爻装饭，用7个爻装肉和羹（3个爻装肉，4个爻装羹），这样就把65个碗的12×65=780爻划分为一些“7爻碗”和“6爻碗”。因为每一客人恰好使用一个7爻碗和一个6爻碗，所以7爻碗和6爻碗的个数相等，都等于客人数。于是本题就转化为鸡兔同笼问题：

两种动物个数相等，甲动物有6只脚，乙动物有7只脚，共有780只脚，问两种动物各有多少只？

在鸡兔同笼公式①中，设两种动物各有x只，则p=2 x，q=780，m=7，n=6。代入①式得：

 x=780－12x,13x=780.

       x=60（人）

即来了60位客人。

附注：清代有一个名叫徐子云的数学家，编过一本数学习题集，其中也有一道算碗的问题，不过把其中的数据改得更简单了：

巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧。

三百六十只□碗，看看用尽不差争。

三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹。

请问先生明算者，算来寺内几多僧？

  这是一首七言诗，每句都应有七个字，可是第三句只有6个字，可能是掉了一个字。如果按360只碗计算，算出来的僧人数是一个分数，显然是不合理的。可能是“三百六十”的后面掉了一个字，即第三句应该是“三百六十□只碗”。那么这个“□”又是多少呢？

利用像图2那样的卦组，每个卦组代表12位僧人，三人一碗饭需4个饭碗，四人一碗羹需要3个羹碗，共7个碗。如图所示：

             图2

碗数应是3+4=7的倍数，易知有而且仅有364是7的倍数，364÷7=52。故有僧人52×12=624（人）。

4.盈不足术

我国古代杰出的数学著作《九章算术》 “盈不足术”一章中的第一题是：

今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？

“盈不足术”问题一般可表示为下面的“共买物”模型：

若干人凑钱买一物品，若每人出钱a₁，则不足钱b₁；若每人出钱a₂，则剩钱b₂。问物价、人数各是多少？

解  设人数为m，a₂＞a₁.画m个a₂爻卦，上面的a₁个爻为阳爻，下面的a₂－a₁个爻为阴爻，如图1所示：

        图3 盈不足问题模型

如果用一个爻表示一个钱，则图3中阴爻个数就是两次凑钱总数的差，它包括第一次凑钱的不足数b₁和第二次凑钱的剩余数b₂，即等于b₂+b₁。另一方面，由图1知，阴爻的个数又为m与(a₂－a₁)的乘积，从而有等式m(a₂－a₁)=b₂+b₁，于是得

利用①，②还不难算出每人应出钱数A:

回到《九章算术》的问题，由a₁=7，a₂=8，b₁=4,，b₂=3，代入公式①，②，即得：

答：物价53钱，人数7人。

评注 （1）《九章算术》的“盈不足术”属于世界首创，中世纪被欧洲人视为算术问题的万能解法，称它为“双设法”。一般应用问题都有一个确切的答案，在用盈不足术解答问题时，不妨先取一数设为答案，根据题意进行验算，结果一般有三种可能:如果符合题意，所设的数就是所求的答案；如果不符合题意，那么不是比答案小就是比答案大，即转化为盈不足问题，便可用盈不足模型求解。

 “盈不足术”的算法模型，是中国古代数学园地独具特色的奇葩，是我国数学史上一项光辉的成就，它也许没有用列方程求解简便，但从数学方法论的角度看，“盈不足术”蕴含了模型化方法，化归方法，以及近似、逼近的方法。这些方法对数学的发展乃至当今数学教学都有很好的借鉴意义。

（2）上述模型是在“一盈一不足”的条件下建立旳，《九章算术》“盈不足”章中的第五至第八题还详尽无遗地讨论了“两盈”、“两不足”、“盈、适足”（ b₁等于 0）、“不足、适足”（ b₂为0）四种情况。在使用上述公式时，可根据盈、不足的意义用正负数表示，例如，对于“两盈”，可把较小的“盈b₁”视为“不足－b₁”，然后按正负数运算法则计算即可,上述公式仍然有效。

例1 “盈不足术”章的第五题是：

今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百，问人数、金价各几何？

解 在本题中，a₁=300，b₁=－100，a₂=400，b₂=3400.代入

公式①、②得：

例2 “盈不足术”章的第六题是：

今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三。问人数、羊价各几何？

解  在本题中，a₁=5，b₁=45，a₂=7，b₂=－3.代入公式①、②得：