一、特殊的算筹

我国古代数学是运用算筹来计算的，算筹的名称叫做策,如图1所示.

                   图1 陕西千阳出土的西汉算筹

    有趣的是，《周易》中揲蓍成卦的方法也是通过蓍草或竹签的运算来得到的，蓍草或竹签的名称也叫策。算筹和卦爻不仅有相同的名称，而且有相同的形状。图1中左边的长策像是阳爻，右边一分为二的短策则很像阴爻。因此我们可以把卦、爻当作算筹用来解数学题，而基本不涉及卦、爻的其他数学背景。

    我国古代还使用算盘计算。算盘被称为没有储存器的计算机，有人把它和中国古代四大发明并列，称为中国古代的第五大发明。在汉代以前的算盘梁上只用一颗珠子。图2的算盘中拨动的珠子从左至右分别表示1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9；合起来则表示一个九位数123456789。

             图2

如果把一个六爻卦当做算盘上的一档，最上的一爻代表梁上的一颗珠子，当它拨下到横梁时用阳爻，未拨下时则用阴爻。第一爻至第五爻（从下往上数）代表下珠，已拨上时用阳爻，未拨上时则用阴爻。那么，便可以像算盘那样把1～9这些数字表示出来，如图3所示：

  1   2    3   4    5   6   7   8  ９

　　　　　　　　 图3  卦爻代替算珠表示数

　　算盘上无法表示多位数（如2300）末尾的0，在易卦中则可用六阴爻的坤卦（）表示0，多位数中的0也就可以和普通的计数法一样表示了，如图4。

            图4  2300的表示

由此可见，卦爻也可以代替算珠进行类似于算盘的作用。

在这一单元我们只把卦、爻当算筹或算珠使用，基本不涉及卦、爻的其他数学背景。我国古代数学家十分注意数形结合，当我们解数学题时，用卦爻构造图形，达到“析理以辞，解体用图”的目的，确能有使“览之者思过半矣”的功能。

01从鸡兔同笼与盈不足术谈起

我国古代算经中有许多名题、趣题，流传久远，誉满中外。但古代算经中说明解题方法的“术”时，只有具体算法而很少说明其中的道理。当我们把其中一些问题通过卦爻建立模型来解答时，模型的结构不仅合乎“术”的文字，而且阐明了“术”的逻辑推理过程。例如鸡兔同笼与盈不足术问题模型，特别是盈不足术的“双设法”，几乎是解答算术应用问题的万能工具。因此，我们先从这两个古典名题谈起。

  1.鸡兔同笼

我国古代数学著作《孙子算经》中有一道众所周知的鸡兔同

笼问题，很有名气：

今有雉（野鸡）兔同笼，上有35头，下有94足。问雉兔各几何？

解  我国古代不用列方程解应用题的方法，而是把各种应用问题分型划类，提炼出若干模型，然后针对各种模型，设计一种或数种巧妙的算法。我们利用易卦来建立这个问题的解法模型。

假设画了若干个二爻卦和四爻卦，如图1所示：

图1 鸡兔同笼问题的易卦模型

如果把一个卦看作一个动物，一个爻看作动物的一足，则二爻卦可看作鸡，四爻卦可看作兔，爻的总数为足数，卦的个数则为头数。中间的红线把爻数分成了相等的两部分，即把爻的个数去掉一半后，将剩下的一半减去头数，便得兔的个数。

《孙子算经》给出的算法与此完全吻合：

“术曰:上置头，下置足，半其足，以头除足，以足除头，即得。”

由图1的模型便得到鸡兔同笼问题的算法:

第一步：将足数除以2（半其足）：

      94÷2=47

第二步：将足数的一半减去头数，即得兔数（以足除头。也可以头除足，得出负数，取绝对值）：

      47－35=12

第三步：将头数减去兔数，即得鸡数（35－12=23）。

下面我们利用易卦来建立这类问题的一般模型：

笼中有甲、乙两种动物，甲种动物有m个脚，乙种动物有n个脚(m＞n)。两种动物共有p个头，q个脚。问两种动物各有几个？

如图1，画出甲、乙两种卦，甲种卦有m个爻，乙种卦有n个爻(m＞n)。两种卦共有p个卦，q个爻。每个卦的上面n个爻都画成阳爻，共有pn个阳爻；下面的爻都画成阴爻，共有q－pn阴爻。因为n爻卦下面已没有爻，所以阴爻都在m爻卦下面，每卦下面还有m－n个阴爻。

           图2 广义鸡兔同笼问题易卦模型

如果m爻卦有x个，则阴爻的个数又为x(m－n).因此有等式

x(m－n)=q－pn

由此得

对于《孙子算经》中的鸡兔同笼问题，便可以直接利用公式① 、②计算。这时p=35，q=94，m=4,n=2，代入①式，即得

评注  当我们把卦、爻解释为其它事物时，还能解许多别的数学

问题。例如工程问题：

一件工程，甲m天完成，乙n天完成（m≥n）。甲先做若干天后，乙接着做，共作了p天完成。问甲、乙各做了几天？

当我们把工程分为mn等份，则甲每天完成n份，乙每天完成m份，设甲、乙分别做了y、x天完成，即转化为鸡兔同笼问题：

p——两种动物的总头数；

q——两种动物的总足数（mn）；

n——每只甲种动物足数；

m——每只乙种动物足数。

代入公式① 、②，即可求得甲、乙工作的天数。

2.和尚吃馒头

我国明代数学家程大位的《直指算法统宗》里有一道和尚吃馒头的问题：

一百馒头一百僧，大僧三个更无争。

小僧三人分一个，大小和尚各几丁？

解一  这个问题可以化为“鸡兔同笼”的问题，利用鸡兔同笼的公式①求解。

为了避免分数，我们设想每一个馒头都均匀地分成了3片。这样，每个大和尚吃9片，每个小和尚吃1片.把和尚的人数看作卦数p，馒头的片数看作爻数q。即可化为鸡兔同笼问题:

今有大、小和尚若干人，大和尚每人吃m片馒头，小和尚每人吃n片馒头(m＞n)。大小和尚共有100人，吃了300片馒头。问大小和尚各有几人？

这时p=100,q=300,m=9,n=1,代入公式①，得

小和尚人数：100－25=75（人）.

解二  如图1，画一个四阳爻卦，4个阳爻可以表示4个馒头,也可以表示4个和尚。

                      图1

从左边标识看，1个大和尚吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，4个和尚吃4个馒头；从右边标识看，3个馒头供应1个大和尚，1个馒头供应3个小和尚，4个馒头供应4个和尚。这个四阳爻卦既可表示4个馒头，又可以表示4个和尚（一大三小），正好给出4个和尚吃4个馒头的模型。因为100个和尚恰好可以分成25个4人组，由此可知，有25个大和尚，25×３＝75个小和尚。

《直指算法统宗》的解法是：“置僧一百为实（被除数），以三一并（和）得四为法（除数）除之，得大僧二十五个。”正是本题所用的四四分组方法。

解三  我们也可以用“四象”构图来解此题。如图2，在四象图中，如果用阳爻表示和尚，阴爻表示馒头，则恰有4个和尚（3小1大），

4个馒头，图左表示3个小僧吃1个馒头，图右表示1个大僧吃3个馒头。正好给出4个和尚吃4个馒头的模型。因为100个和尚恰好可以分成25个4人组，由此可知，有25个大和尚，25×３＝75个小和尚。

                      图2