九九之术与六爻之变

           ——代前言

三国时期的著名数学家刘徽在整理中国古代数学名著《九章算术》时，在序言中写道：“昔在包牺氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情，作九九之术以合六爻之变。”他又说“徽幼习九章，长再详览，观阴阳之割裂，总算术之根源。”^[1]“九九之术”是数学的别名，“六爻之变”乃易学之简称，这两者是怎样相“合”的？“阴阳之割裂”又何以是“算术之根源”？这些问题都颇耐人寻味。

【1】刘徽《九章注》

01

中国古代数学发展的道路可简单地概括为：方法的模式化和内容的算法化。它的思想大体表现如下：

第一步  从实际中提取各种需要解决的问题；

第二步  把实际问题转化为各种数学模型；

第三步  对数学模型设计一种程序化的算法。

因此，中国古代数学的经典著作大都以问题集的形式出现，把一些来自实际的数学问题分成各种类型，然后再根据类型分章节编写。每一个问题一般又分成几个条目。第一条目是“问”，提出带有具体数值的实际问题。第二条目是“答”，给出这一问题的具体数值答案。第三条目是“术”，给出怎样计算出答案的具体方法。“术”实际上就相当于现在计算机科学中的“算法”，有时甚至相当于数学中的一个公式或一条定理。

以《九章算术》为例，它是中国古代一部最优秀的数学著作，内容涵盖了当今初等数学中算术、代数和几何的大部分内容。自从《九章算术》流传到民间以后，人们长期将它作为传授数学的教材.刘徽为之作注之后，更成为最重要的数学教科书.后人的数学著作也多以《九章算术》为蓝本。我国当代著名数学家吴文俊曾经这样评价此书：

“《九章算术》是我国数学方面流传至今最早也是最重要的一部经典著作。它承前启后，一方面，总结了秦汉以前的数学成就；另一方面又成为汉代以来达两千年之久数学研究与创造的源泉，特别是三国时期魏刘徽的《九章注》，对数学理论多所阐发，影响深远。总之，《九章算术》与刘徽《九章注》，对数学发展在历史上的崇高地位，足可与古希腊欧几里得《几何原本》东西辉映，各具特色。”^[2]

[2] 吴文俊主编：《九章算术》与刘徽，北京师范大学出版社，1982年版，第1页。 

古代算经其中最值得注意的是第三条目“术”，一方面，虽然条目一、二的问与答都以具体数值提出，但条目三的“术”却具有普遍意义，即使换成同类型的其他数值，“术”的方法依然行之有效。另一方面，虽然“术”对于同类问题具有普遍的实用性，但是却因为只有具体算法而没有推理过程，致使一些后世学者误认为中国古代算经只有经验归纳，而没有逻辑推理。其实《九章算术》中那些复杂的问题，即使在今天，用现代数学方法给中小学生讲授，要使他们完全听懂也绝非易事。如果没有经过缜密的逻辑推理过程，只凭经验归纳是不可能总结出那些正确而普适的“术”的。

刘徽《九章》注的原序中也说：“析理以辞，解体用图，庶几约而能周，通而不黩，览之者思过半矣．”可见刘徽注《九章》时是说理的，而且还要求“约而能周，通而不黷”，如果没有逻辑推理过程，是绝对办不到的。这一现象，是否与刘徽“观阴阳之割裂，总算术之根源”有某种联系呢？

02

中国古代数学家大都精通易学，许多知名的易学家也对数学有相当的造诣，如郑玄、虞翻等易学家都有数学论著。三国时吴人陆绩做过太守，还领过兵，但他“博学多识，星历算数无不该览”。他“著述不废，作《浑天图》，注《易》释《玄》，皆传于世。”^[3] 特别是唐代国子监内设立算学馆，经李淳风（602－670）将《算经十书》校订注疏后定为国家的数学教材，而李淳风正是一位易学大师。

【3】《三国志·吴书·陆绩》

另一方面，我国许多古代数学家又大多喜爱和精通易学。除了刘徽“观阴阳之割裂，总算术之根源”外，唐代的僧一行编制“大衍历”时，使用了不等间距二次插值法的新数学方法，是对数学的一大贡献。但是他却使用《周易》的一些术语，硬凑出一套神秘的计算公式来，使之纳入《周易》的范畴。宋代数学家秦九韶（1202-1261）也认为数学的产生“爰自河图洛书”。他发明了一次同余式组的解法，那是数学史上一项重要的成果。国际上称它为“中国剩余定理”，而秦九韶却认为它是《周易》的产物，因而称它为“大衍求一术”。“大衍求一术”正是中古代数学机械化和算法化的典型范例。

总之，我国古代有一些数学家和易学家们，他们对数学和易学都有同样的爱好和造诣，他们是否会自觉或不自觉地把《周易》的模式化思维与数学的模式化道路合二而一了呢？

本书写作的目的，就是想对这个问题进行适当的探讨。试图运用 “观阴阳之割裂”的方法，为中国古代算经中的“术”找到一种“寓理于算”的逻辑推理根据。

03

笔者发现，以《周易》的卦爻为工具，确实可以建立中国古代算经中一系列（离散）数学问题的模型，从这些模型直接得出算法。虽然解题过程也许不如现代数学方便，但是在逻辑推理上是严格的。建立模型的方法也不拘一格，但是都能得出同一的算法。正如《周易》所云“殊途而同归，百虑而一致”。不仅如此，还有许多古今中外的趣味数学名题，直到国际数学竞赛（IMO）试题，都可以利用卦爻建立其解题模型。它体现了一种特殊的解题思路，而且卦、爻与形、数的有机结合，有时更有助于解题的直观思维,使你看到一种别开生面的解题思想，对于开阔眼界，发展思维，有着潜移默化，不可估量的作用。

易卦这套符号系统，正是一套“百姓日用而不知”的、可以“类万物”的模型，它有许多奇异的功能，诸如记数、计数、构型、分类、编码等各方面的功能，特别是构建算术问题的解题模型的功能。易卦这套符号系统之所以具有这些功能主要有两个原因：一是易卦本身就是用来表示许多事物的抽象形象的，《周易·系辞下传》指出：“昔者包牺氏之王天下也，仰则观象于天，俯则观法手地，观鸟兽之文与地之宜，近取诸身，远取诸物，于是始作八卦，以通神明之德，以类万物之情。”这就是说卦爻本来就是类万物的模型，数学当然也在万物之内。二是卦爻与许多离散数学如集合论、群论、数论、图论以及组合论等的初始内容等都可以建立某些联系，因而可以作为一些具体数学问题的解题模型。

当然也必须指出的是，如果认为本书中列举的那些数学问题，既然可以用现代数学的方法来解，用易卦思想去解，只不过是把现代数学的语言“翻译”为易卦的语言而已，因此没有什么实际的意义。这种观点也是不正确的。本来数学证明从某种意义上讲就是同义反复。现代数学的一些语言，既然可以“翻译”为易卦的语言，反过来就说明了易卦这套符号系统的确可以表现出某些现代数学的思想。

说得直白一点，利用八卦解数学题，就像小学数学老师给学生讲四则应用问题时，常常设计出一些巧妙的思考图，使学生一眼就能看出解题的思路，并且还能根据图形说清解题的逻辑根据。

04

考虑到许多读者并不熟悉《周易》，我们先对卦爻的基本知识作一点通俗的介绍。

《周易》是我国古代一部最具魅力的经典，她对中华民族的整个文化都产生过极为深远的影响.《周易》分为《易经》和《易传》两个部分。《易经》是《周易》的本文，《易传》是对《易经》的注释和评论。

《易经》中有一种特殊的符号，叫做卦。卦是由两种不同的符号“—”和“- -”构成的。“—”叫做阳爻，“- -”叫做阴爻，阳爻和阴爻统称为爻。《易经》中的卦由六个爻从下往上重叠而成，根据排列组合的知识可知，这样的卦共有2⁶=64个。它们都有专门的名称:

     传统的易学研究认为，由六个爻组成的易卦是由两个三爻的卦上下重叠而成的。所以自古以来便有“伏羲画卦，文王重卦”的说法。由三个爻组成的三爻卦有8个，也有专门的名称，叫做八卦：

三爻的卦称为单卦或经卦，重叠起来的六爻卦称为重卦或易卦。在下的称为下卦或内卦，在上的称为上卦或外卦。

此外，还有“两仪”、“四象”等名称的图形。

    由一个爻组成的一爻卦有两个，即阴爻和阳爻，称为两仪：

由两个爻组成的二爻卦有四个，称为四象：

所以《周易》中说：“是故易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦。”

宋朝的哲学家邵雍把这一思想扩充到n爻，从而突破了《周易》中的卦只有一爻、二爻、三爻和六爻的限制，邵雍把卦扩充到n（n=1，2，…）爻，每增加一爻,卦的个数就增加一倍，因此n爻卦有2ⁿ个。宋朝的理学家程颐称之为“加倍法”，另一位理学家朱熹则称之为“一分为二”法。

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目录

前言

A、特殊的算筹

   一、从鸡兔同笼与盈不足术谈起

   二、百鸡问题与不定方程

   三、卦爻矩阵的分割

   四、综合示例

B、方以类聚，物以群分

一、一阴一阳之谓道

二、四象与二元关系

三、三分法

四、象数理占的模式

五、神无方而易无体

C、易卦与数论

一、分数计算

二、p进制

三、同余式

D、易卦与集合论

一、集与子集

二、对应与转化

E、易卦与组合论

一、从一道高考试题谈起

二、组合计数

三、拉姆塞数

四、图与构型

F、易卦与群论

一、卦爻的运算

二、易卦与群

G、易卦与布尔代数

一、伏羲代数

二、0-1表格与二维匹配

H、易卦与数学游戏

一、非对抗性数学游戏

二、非对抗性数学游戏